Sažetak U ovom se radu predlažu novi načini pojasnog razlaganja signala vremenski promjenjivim i nelinearnim filtarskim slogovima. Konstrukcija predloženih filtarskih slogova s potpunom rekonstrukcijom zasnovana je na ljestvičastoj realizaciji, a izvedena je iz jedne metode projektiranja biortogonalnih wavelet filtarskih slogova. Promjena parametara filtara u slogu vrši se po zadanim kriterijima, prilagođujući filtre svojstvima analiziranog signala.
Iako promjenjivi, opisani filtarski slogovi posjeduju po volji dobra svojstva konvergencije i regularnosti. To omogućuje povezivanje slogova u wavelet stabla ili u stabla wavelet paketa, što je preduvjet učinkovite realizacije. Vremenski promjenjivi i nelinearni filtarski slogovi zadržavaju dobra svojstva waveleta: dobru lokalizaciju u vremenskoj i frekvencijskoj domeni. S druge strane, predloženi se filtarski slogovi prilagođuju svojstvima analiziranog signala, te na taj način približavaju optimalnim filtarskim slogovima. Kako se funkcije razlaganja mijenjaju u svakom koraku, možemo govoriti o waveletima sličnom razlaganju ili o waveletima druge generacije. Vremenski promjenjivi filtarski slogovi pokazuju se pogodnijim za analizu nestacionarnih signala od nepromjenjivih slogova.
Ljestvičasta realizacija na kojoj su zasnovani omogućuje i preslikavanje cjelobrojnih signala na cjelobrojne transformacijske koeficijente. Moguće su i različite nelinearne operacije na signalu, kao što su statistički (npr. medijan) filtri, a sve uz zadržavanje svojstava potpune rekonstrukcije.
Novi filtarski slogovi konstruirani su metodom projektiranja filtara interpolacijom u vremenskoj domeni. Umjesto projektiranja nepromjenjivih filtarskih slogova, opisani algoritmi u svakom koraku analize određuju nove parametre filtarskog sloga. Filtri u slogu sastoje se od nepromjenjivog i promjenjivog dijela. Zadaća nepromjenjivog dijela je osiguravanje zadovoljavajućih svojstava konvergencije i regularnosti, odnosno dovoljnog broja nul-momenata pridruženih funkcija skale i wavelet funkcija. Nepromjenjivi dio filtara osigurava i željene granice frekvencijskih karakteristika filtara, te ograničava područje adaptacije. Promjenjivi dio filtarskog sloga konstruiran je tako da omogući promjenu parametara u zadanom prostoru adaptacije, uz prilagodbu svojstava filtara analiziranim signalima.
Za realizaciju promjenjivog i nepromjenjivog dijela razrađen je novi način faktorizacije biortogonalnih filtara ljestvičastom realizacijom. Predložena faktorizacija pokazuje znatan stupanj neovisnosti između koraka podizanja i dualnog koraka podizanja, a time i svojstava niskopropusnog i visokopropusnog filtra u slogu. Nadalje, predložena je faktorizacija pogodna za određivanje potrebnog reda filtara na svakoj razini razlaganja signala. Ta je činjenica iskorištena za konstrukciju novih wavelet filtarskih slogova s promjenjivim brojem nul-momenata. Takvi filtarski slogovi pokazuju značajne prednosti u odnosu na fiksne slogove: rezidualni signal nakon interpolacije je manji i to bez izraženih prijelaznih pojava na singularitetima analiziranog signala.
U radu su uspoređivani algoritmi prilagodbe filtara, s obzirom na kriterij i područje prilagodbe, te brzinu konvergencije. Korišteni su kriteriji minimalne apsolutne pogreške i minimalne kvadratne pogreške, koji su pogodni za učinkovitu implementaciju. Područje prilagodbe određuje brzinu adaptacije, koja je obrnuto proporcionalna varijanci ocjene filtarskih parametara, te određuje stupanj približavanja optimalnim filtarskim slogovima. Pozicija intervala prilagodbe u odnosu na promatrani trenutak također određuje stupanj približavanja optimalnim razlaganjima. Pokazuje se da je jedino kod kauzalnih, izrazito asimetričnih intervala adaptacije, moguća potpuna rekonstrukcija signala iz wavelet koeficijenata bez potrebe za prijenosom informacije o filtrima na stranu razlaganja. Nepromjenjivi dio filtarskog sloga uzrokom je potrebe za spektralnom kompenzacijom kriterija prilagodbe, za što su razvijeni potrebni algoritmi.
Zaključno, predloženi vremenski promjenjivi i nelinearni filtarski slogovi donose novi pristup u razlaganje signala. U analitičkom smislu, opisani slogovi nude dodatnu informaciju o signalu, korisnu za prepoznavanje njegovih sastavnih komponenti. Oni objedinjuju pojasno razlaganje, parametarsko modeliranje i multirezolucijsku analizu signala. Novi filtarski slogovi omogućuju brojne primjene, poput kompresije i potiskivanja šuma, a uz manju degradaciju svojstava signala u odnosu na fiksne filtarske slogove.
Sažetak (engleski) In this thesis, a new technique for signal subband decomposition using time-variant and non-linear filter banks is proposed. Construction of the proposed perfect reconstruction filter banks is based on ladder structure, derived from a method of biorthogonal wavelet filter bank design. Filter’s parameters are being changed by predefined criteria, in purpose to adapt filters to the signal properties.
In spite of their time-variance, described filter banks posses good convergence and regularity properties. It makes possible to form wavelet trees or wavelet packets, which leads to efficient realizations. Resulting time-variant and non-linear filter banks still retain good properties of wavelets: good localization in time and frequency domain. On the other hand, proposed filter banks have the ability to adapt to the properties of the analyzed signal, resulting in a good approximation of the optimal filter banks. Since decomposition functions are changed at each step, this technique represents a new class of wavelet-like transforms or second-generation wavelets. It is shown that time-variant filter banks are more suitable for analysis of non-stationary signals, compared to the fixed filter banks.
Employed ladder structure enables mapping of integer signals to the integer transformation coefficients. Also, it enables different non-linear operations on signal, such us statistical signal processing (e.g. median filter), and many others. Despite of non-linearity, the proposed filter banks retain the perfect reconstruction property.
Proposed filter banks are designed by the interpolation of samples in the time domain. Instead of fixed filter bank design, described algorithms determine the filter parameters at each step of the analysis. Filters in the bank consist of a fixed and a variant part. The role of the fixed part is to ensure the satisfactory convergence and regularity properties, corresponding to the number of zero moments of wavelet and scale functions. Furthermore, the fixed part provides limits on filters’ frequency responses and defines the adaptation space. The variable part of the filter bank enables changes of the filters’ parameters within the allowed adaptation space, in order to adapt the filters’ properties to the analyzed signal.
A new factorization of biorthogonal filters into lifting steps is proposed to enable filter separation into a fixed and a variable part. There is a significant level of independence between lifting step and dual lifting step in the proposed factorization, which results in a certain degree of independence between low-pass and high-pass filters in the bank. Furthermore, proposed factorization is suitable for determination of necessary filter order at each level of decomposition. That fact is used for the construction of new wavelet filter banks with variable number of zero moments. Such filter banks show significant benefits when compared to the fixed banks: residual signal after interpolation is smaller, with no amplified transients on signal singularities, which is typical for the high order fixed filters.
In this thesis, the algorithms of filter adaptation were compared based on criterion and adaptation interval, as well as the convergence properties. Criteria of the minimum absolute error and the minimum square error were used, due to their efficient implementation. The adaptation interval determines the speed of adaptation, as well as the degree of optimum filter bank approximation. Position of the adaptation area with reference to the observed moment also influences the degree of approximation. It is shown that only causal and asymmetric adaptation intervals can enable the perfect reconstruction without the need for filter parameter transfer to the reconstruction side. Fixed part of the filter bank causes the additional requirement for spectral compensation of the adaptation criterion. All necessary algorithms for spectral compensation of the error were developed in the thesis.
Consequently, proposed time-variant and non-linear filter banks represent a new approach to signal decomposition. In the analytical sense, described filter banks offer new information about the decomposed signal, useful for the extraction of its basic components. They combine subband decomposition, parametric modeling and multiresolution analysis of the signal. The proposed new filter banks enable a number of applications, like compression and noise suppression resulting with lower signal degradation then for the case of fixed filter banks.
Ključne riječi
PR filtarski slogovi
wavelet filtarski slogovi
ljestvičasta realizacija
faktorizacija u korake podizanja
vremenski promjenjivi i nelinearni filtri
adaptivni filtarski slogovi
spektralna kompenzacija pogreške
kriterij adaptacije
promjenjiv broj nul-momenata
preslikavanje cijelih na cijele brojeve
Ključne riječi (engleski)
PR filter banks
wavelet filter banks
ladder realization
factoring into lifting steps
time variant and non-linear filters
adaptive filter banks
spectral compensation of error
adaptation criterion
time variant number of zero moments
mapping of integers to integers
